Euclides é o pai da geometria

Apesar de sabermos muito pouco sobre a vida de Euclides, matemático que viveu por volta do ano 300 a.C., freqüentemente atribuímos a ele o título de "pai da geometria" devido às suas importantes contribuições ao estudo desse ramo da matemática, contidas na monumental obra "Os Elementos". Acredita-se que o livro de Euclides, escrito originalmente em 13 volumes, tenha sido a segunda obra mais editada na história do homem, perdendo apenas para o número de edições da Bíblia. Durante várias gerações, a obra foi usada como manual para o ensino de geometria devido ao rigor matemático com que tratava o assunto.

Pois bem, hoje evocamos a presença do "pai da geometria" para que seu rigor matemático nos inspire no esclarecimento de um curioso paradoxo geométrico. O problema em questão refere-se a uma divisão de um terreno ABCDEFG em quatro lotes (ABG, BCD, EDF e GBDF), conforme indicam as medidas na figura abaixo.

Segundo nossos conhecimentos geométricos sobre o cálculo da área de um triângulo (base vezes altura dividido por dois) e da área de um retângulo (lado vezes lado), sabemos que as áreas S1, S2, S3 e S4 de cada terreno serão respectivamente iguais a 2.000 m2, 1.500 m2, 2.000 m2 e 4.800 m2, perfazendo 10.300 m2 de área total no terreno. Por outro lado, se quiséssemos calcular a área total do terreno, admitindo sua forma de um triângulo de base AE, medindo 160 m, e altura igual a 130 m, pela fórmula da área de um triângulo, concluiríamos que o terreno tem área total igual a 10.400 m2 (ganhamos 100 m2 em relação ao cálculo anterior!). Como explicaríamos esse paradoxo digno de causar calafrios até ao "pai da geometria"?

Note que os segmentos AG e BD são paralelos, mas os ângulos BÂG e C^BD não são congruentes (suas tangentes são iguais a 8/5 e 5/3 respectivamente). Se esses ângulos não são congruentes, segue que os pontos A, B e C não estão alinhados e portanto ABCDE não é um triângulo, apesar de isso ser imperceptível visualmente. Decorre daí que o cálculo correto da área total do terreno deve ser feito pela soma da área de cada um dos quatro lotes. O ganho de 100 m2 de um cálculo em relação a outro se deve à diferença entre a área do triângulo ACE (assumida equivocadamente como a área do terreno) e a área do polígono côncavo ABCDE (área do terreno).

José Luiz Pastore Mello